Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms , also einen Ausdruck der Form
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als Polynom -ten Grades in den Variablen und auszudrücken.
In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form auszumultiplizieren ist.
Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für alle Elemente und eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen gilt die Gleichung:
Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen und (mit der Konvention ).
Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten
- ,
die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens lặng binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit ist hierbei die Fakultät von bezeichnet.
Bemerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Terme sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl an das Ringelement aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als -Modul benutzt.
Spezialisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der binomische Lehrsatz für den Fall heißt erste binomische Formel.
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Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- .
![(x+y)^{n}=x^{n}+\left[\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\right]+y^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b84adbc34a2d97f182ec674a718f94da8187f443)
- Für mehr als zwei Summanden gibt es das Multinomialtheorem.
Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl kann unter Ausnutzung der algebraischen Eigenschaften von Binomialkoeffizienten durch vollständige Induktion erbracht werden.[1] Anhand der kombinatorischen Deutung der Binomialkoeffizienten ergibt sich auch ein einfacher Abzählbeweis.[2] Für jedes konkrete kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.
Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- , wobei die imaginäre Einheit ist.
Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Verallgemeinerung des Satzes auf beliebige reelle Exponenten mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn eine beliebige komplexe Zahl ist.
Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:
- .
Diese Reihe heißt binomische Reihe und konvergiert für alle mit und .
Im Spezialfall geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle gültig, domain authority die Reihe dann abbricht.
Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als
Im Fall entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.
Für und ergibt sich aus (2) als Sonderfall die geometrische Reihe.
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Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- M. Barner, F. Flohr: Analysis I, de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6, S. 26
- Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer, 2007, ISBN 9783835102163, S. 52-55
- Thomas Koshy: Catalan Numbers with Applications. Oxford University Press, 2009, ISBN 9780195334548, S. 28-36
- Stefan Hildebrandt: Analysis. Springer, 2013, ISBN 9783662056943, S. 29-31
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Binomischer Lehrsatz (Eigenschaften von Binomiakoeffizoenten und Beweis des Satzes per Induktion)
- Binomischer Lehrsatz (Video, kombinatorischer Beweis)
- Eric W. Weisstein: Binomial Theorem. In: MathWorld (englisch).
- The Binomial Theorem bei Khan Academy (Video, englisch)
Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- ↑ Stefan Hildebrandt: Analysis. Springer, 2013, ISBN 9783662056943, S. 29-31
- ↑ Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer, 2007, ISBN 9783835102163, S. 52-55
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